Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x) + C) + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 (\sec (x) + C) - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 8.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10

Упростим.

$2 \sec (x) - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$