Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Этап 8

Поскольку $- 6 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6 y$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y \int x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x - 6 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y \frac{- 6 x^{2}}{2} + C$

Этап 10.3.2

Объединим $y$ и $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 6 x^{2})}{2} + C$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $y (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2} + C$

Этап 10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Этап 10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Этап 10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 3 x^{2})}{1} + C$

Этап 10.3.3.2.4

Разделим $y (- 3 x^{2})$ на $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$