Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 9.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + \int 4 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + 4 x + C$

Этап 12

Упростим.

$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$