Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 1.1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 1.1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 1.1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\sqrt{x^{2} + 8}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} + 8}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 + 8}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$\sqrt{8}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Этап 4.1.2.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, 2 \sqrt{2})$

Этап 5