Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $15 x^{4} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 15 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $15 x^{4} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2} - 15 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Этап 6.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Этап 6.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Этап 6.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 6.5.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 6.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 6.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 6.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(0)}^{3} - 30 \cdot 0$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$60 \cdot 0 - 30 \cdot 0$

Этап 10.1.2

Умножим $60$ на $0$ .

$0 - 30 \cdot 0$

Этап 10.1.3

Умножим $- 30$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $15 x^{4} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $15$ на $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 15 \cdot 16$

Этап 11.2.2.1.4

Умножим $- 15$ на $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 240$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $240$ из $3840$ .

$f' (- 4) = 3600$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $3600$ .

$3600$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $15 x^{4} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 15 {(- 0.5)}^{4} - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $4$ .

$f' (- 0.5) = 15 \cdot 0.0625 - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $15$ на $0.0625$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 15 \cdot 0.25$

Этап 11.3.2.1.4

Умножим $- 15$ на $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 3.75$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $3.75$ из $0.9375$ .

$f' (- 0.5) = - 2.8125$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $- 2.8125$ .

$- 2.8125$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $15 x^{4} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = 15 {(0.5)}^{4} - 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$f' (0.5) = 15 \cdot 0.0625 - 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.2

Умножим $15$ на $0.0625$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 15 \cdot 0.25$

Этап 11.4.2.1.4

Умножим $- 15$ на $0.25$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 3.75$

Этап 11.4.2.2

Вычтем $3.75$ из $0.9375$ .

$f' (0.5) = - 2.8125$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $- 2.8125$ .

$- 2.8125$

Этап 11.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $15 x^{4} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 15 {(4)}^{2}$

Этап 11.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 15 {(4)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.2

Умножим $15$ на $256$ .

$f' (4) = 3840 - 15 {(4)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 3840 - 15 \cdot 16$

Этап 11.5.2.1.4

Умножим $- 15$ на $16$ .

$f' (4) = 3840 - 240$

Этап 11.5.2.2

Вычтем $240$ из $3840$ .

$f' (4) = 3600$

Этап 11.5.2.3

Окончательный ответ: $3600$ .

$3600$

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный максимум.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 11.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный минимум.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ .

$x = - 1$ — локальный максимум

$x = 1$ — локальный минимум

$x = - 1$ — локальный максимум

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12