Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h}{x + h + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h}{x + h + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(x + h) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $h x + h - x h$ и $0$ .

$\frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.9.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 5