Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8}{3 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{8}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{8}{3 (x + h)}$ .

$\frac{8}{3 (x + h)}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{8}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{8}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{8}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{8}{3 x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{8}{3 (x + h)} - (\frac{8}{3 x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{8}{3 (x + h)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{8}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{3 x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{8}{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{8}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{8}{3 (x + h)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{8 x}{3 (x + h) x} - \frac{8}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{8}{3 x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{8 x}{3 (x + h) x} - \frac{8 (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $3 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{8 x}{3 x (x + h)} - \frac{8 (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{8 x - 8 (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x - 8 (x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{\frac{8 (x) - 8 (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8 (x + h)$ .

$\frac{\frac{8 (x) + 8 (- (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (x) + 8 (- (x + h))$ .

$\frac{\frac{8 (x - (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{8 (x - x - h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{8 (0 - h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{8 \cdot - 1 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (8 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 8 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{8 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{8 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8 h}{3 x (x + h)}$ в числитель.

$\frac{- 8 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 8 h$ .

$\frac{h \cdot - 8}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 8}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 8}{3 x (x + h)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{3 x (x + h)}$

Этап 5