Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ .

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1 - x}{3 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 + x + h) (3 + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1 - x}{3 + x}$ на $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(3 + x + h) (3 + x)$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(1 - x - h) (3 + x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Развернем $(- 1 + x) (3 + x + h)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Добавим $- x$ и $3 x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Вычтем $h$ из $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Добавим $- h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.15

Добавим $- h x$ и $x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.15.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.15.2

Добавим $- 1 x h$ и $x h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.16

Добавим $- 2 x + 2 x - 4 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.17

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.18

Вычтем $4 h$ из $0$ .

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ в числитель.

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h$ .

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Этап 5