Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{1 - (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{1 - x - h}$ .

$\frac{1}{1 - x - h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{1 - x - h} - (\frac{1}{1 - x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - x - h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{1 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - x - h) (1 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - x - h}$ на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{1 - x}$ на $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - x - h) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x - h)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{1 - x - 1 \cdot 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + 1 x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $- - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + 1 h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{- x + 0 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{\frac{- x + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(1 - x) (1 - x - h)}$

Этап 5