Математический анализ Примеры

$f (x) = x \ln (x) - x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = (x + h) \ln (x + h) - (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$ .

$x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (x + h) - x - h$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x - h$

Этап 2.2.3

Перенесем $h \ln (h + x)$ .

$x \ln (h + x) - x - h + h \ln (h + x)$

Этап 2.2.4

Перенесем $x \ln (h + x)$ .

$- x - h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $- x$ и $- h$ .

$- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x) - x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x)) - - x}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 1 x}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 0}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)$ и $0$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Этап 4.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x \ln (h + x)$ .

$\frac{- h - (- x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- h - (- x \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $h \ln (h + x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))}{h}$

Этап 4.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Этап 4.2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Перепишем $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ в виде $- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Этап 4.2.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x)}{h}$

Этап 5