Математический анализ Примеры

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.10

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.10.1

Перенесем $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.10.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.11

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Этап 2.1.2.4

Добавим $4 x h$ и $4 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $4 h x$ и $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Этап 2.1.2.5

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Этап 2.1.2.6

Вычтем $2 h$ из $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Этап 2.1.2.7

Окончательный ответ: $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $8 h x$ и $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $4 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $4 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ и $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $4 h$ из $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $4 h$ из $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $4 (h + 2 x - 1)$ на $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Этап 4.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Этап 4.4

Изменим порядок $4 h$ и $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

Этап 5