Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x - 1}$

Этап 1

Приравняем $2 x + \frac{2}{x - 1}$ к $0$ .

$2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 1, 1$

Этап 2.1.2

Избавимся от скобок.

$1, x - 1, 1$

Этап 2.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 1$

Этап 2.2

Каждый член в $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ умножим на $x - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый член $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ на $x - 1$ .

$2 x (x - 1) + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0 (x - 1)$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $0$ на $x - 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x + 2 = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1) = 0$

Этап 2.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (1) = 0$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$2 (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2} - x + 1$ на $1$ .

$x^{2} - x + 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3