Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $- x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $- 2 h x$ и $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - (- x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 1 x^{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.3

Перепишем $h^{2} + 2 h x + x^{2}$ в виде ${(h + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 h x = 2 \cdot h \cdot x$

Этап 4.1.3.2

Перепишем многочлен.

$\frac{- (h^{2} + 2 \cdot h \cdot x + x^{2}) + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = h$ и $b = x$ .

$\frac{- {(h + x)}^{2} + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок $- {(h + x)}^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - {(h + x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = h + x$ .

$\frac{(x + h + x) (x - (h + x))}{h}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (h + x))}{h}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + h) (x - h - x)}{h}$

Этап 4.1.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{(2 x + h) (- h + 0)}{h}$

Этап 4.1.6.4

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{h}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{h}$

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- (2 x + h)$ на $1$ .

$- (2 x + h)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x) - h$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x - h$

Этап 5