Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Этап 1

Относительная скорость изменения функции представляет собой значение производной (скорости изменения) в $4$ , поделенное на значение функции в $4$ .

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Этап 2

Подставим функции в формулу, чтобы найти функцию для относительной скорости изменения.

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Этап 6

Найдем значение формулы в $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Этап 7.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Этап 7.3

Найдем экспоненту.

$\frac{4}{25}$

Этап 8

Преобразуем $\frac{4}{25}$ в десятичное представление.

$0.16$

Этап 9

Выразим $0.16$ в процентах.

$16$ %