Математический анализ Примеры

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = u + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $u$ на $u + h$ .

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Развернем $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Объединим противоположные члены в $u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $u \sqrt{u + h}$ и $- \sqrt{u + h} u$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Вычтем $u \sqrt{u + h}$ из $u \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.1.3

Добавим $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ и $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.1.4

Изменим порядок множителей в членах $h \sqrt{u + h}$ и $- \sqrt{u + h} h$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.1.5

Вычтем $h \sqrt{u + h}$ из $h \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.1.6

Добавим $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ и $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Умножим $u$ на $u$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Умножим $h$ на $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Этап 2.1.2.2.2.3

Умножим $- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.3.1

Возведем $\sqrt{u + h}$ в степень $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Этап 2.1.2.2.2.3.2

Возведем $\sqrt{u + h}$ в степень $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Этап 2.1.2.2.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.2.2.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

Этап 2.1.2.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{u + h}}^{2}$ в виде $u + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u + h}$ в виде ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.2.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.2.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.2.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.2.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Этап 2.1.2.2.2.4.5

Упростим.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Этап 2.1.2.2.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

Этап 2.1.2.3

Добавим $u h$ и $h u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Изменим порядок $u$ и $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $h u$ и $h u$ .

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- u$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

Этап 2.2.2

Перенесем $u^{2}$ .

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $2 h u$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- u$ и $u$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{2} + 2 h u - h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h u - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h u$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 u)$ .

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ .

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h + 2 u - 1$ на $1$ .

$h + 2 u - 1$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 u$ .

$2 u + h - 1$

Этап 5