Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 81} \frac{81 - x}{9 - \sqrt{x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 81} 81 - x}{lim_{x \to 81} 9 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} 81 - lim_{x \to 81} x}{lim_{x \to 81} 9 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $81$ , который является константой по мере приближения $x$ к $81$ .

$\frac{81 - lim_{x \to 81} x}{lim_{x \to 81} 9 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{81 - 81}{lim_{x \to 81} 9 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} 9 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} 9 - lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $81$ .

$\frac{0}{9 - lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{9 - \sqrt{lim_{x \to 81} x}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - \sqrt{81}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{0}{9 - \sqrt{9^{2}}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 81} \frac{81 - x}{9 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [81 - x]}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [81 - x]}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $81 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [9 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $9 - \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Этап 1.3.8.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 1.3.8.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Этап 1.3.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 1.3.8.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 81} - - (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 81} - - (2 \sqrt{x})$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 81} - (- 2 \sqrt{x})$

Этап 1.6.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 81} 2 \sqrt{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 81} \sqrt{x}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{x \to 81} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$2 \sqrt{81}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$2 \sqrt{9^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \cdot 9$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $9$ .

$18$