Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{\csc (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 7.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 7.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$