Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{2}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{2}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{x}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.1.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.3

Объединим противоположные члены в $2 x - 2 (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $x$ на $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 2 (x + h)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $2 x$ является константой относительно $h$ , производная $2 x$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $h$ , производная $- 2 (x + h)$ по $h$ равна $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = x + h$ и $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Этап 3.3.8

Умножим $x + h$ на $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Этап 3.3.9

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

Этап 3.3.10

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Этап 3.3.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

Этап 3.3.13

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

Этап 3.3.14

Добавим $h$ и $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

Этап 3.3.15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

Этап 4.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

Этап 5

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

Этап 6.3.2

Добавим $0$ и $x$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.4

Умножим $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x}$

Этап 6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x}$

Этап 6.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$