Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(h - 2)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(0 - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(h - 2)}^{2}$ в виде $(h - 2) (h - 2)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 2) (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(h - 2) (h - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 2) - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 \cdot h - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 h - 2 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $2 h$ из $- 2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 4 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $h^{2} - 4 h + 4 - 4$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 4 h]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $h$ , производная $- 4 h$ по $h$ равна $- 4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $h$ , производная $- 4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Добавим $2 h - 4$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Добавим $2 h - 4$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 h - 4$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 4$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 4$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 4$

Этап 2.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 4$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 - 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$