Математический анализ Примеры

$lim_{a \to - 2} \frac{2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{a + 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{a \to - 2} 2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{a \to - 2} 2 a^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$\frac{2 lim_{a \to - 2} a^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $3$ в выражении $a^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 lim_{a \to - 2} a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $a^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $a$ к $- 2$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.8.3

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{- 16 - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.3

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.3.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{1 + 2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{- 16 - 8 - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 16 - 8 + 8 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.2

Вычтем $8$ из $- 16$ .

$\frac{- 24 + 8 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.3

Добавим $- 24$ и $8$ .

$\frac{- 16 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.2.9.4

Добавим $- 16$ и $16$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + lim_{a \to - 2} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $a$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{a \to - 2} \frac{2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{a + 2} = lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [2 a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [2 a^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $a$ , производная $2 a^{3}$ по $a$ равна $2 \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{2 (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d a} [- 2 a^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $a$ , производная $- 2 a^{2}$ по $a$ равна $- 2 \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 2 \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 2 (2 a) + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $a$ , производная $- 4 a$ по $a$ равна $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $16$ является константой относительно $a$ , производная $16$ относительно $a$ равна $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.7

Добавим $6 a^{2} - 4 a - 4$ и $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $a + 2$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1 + \frac{d}{d a} [2]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $a$ , производная $2$ относительно $a$ равна $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1 + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $6 a^{2} - 4 a - 4$ на $1$ .

$lim_{a \to - 2} 6 a^{2} - 4 a - 4$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $- 2$ .

$lim_{a \to - 2} 6 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Этап 2.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$6 lim_{a \to - 2} a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Этап 2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $a^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - lim_{a \to - 2} 4$

Этап 2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $a$ к $- 2$ .

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - 1 \cdot 4$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$6 {(- 2)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - 1 \cdot 4$

Этап 3.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $- 2$ для $a$ .

$6 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$6 \cdot 4 - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Этап 4.1.2

Умножим $6$ на $4$ .

$24 - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$24 + 8 - 1 \cdot 4$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 + 8 - 4$

Этап 4.2

Добавим $24$ и $8$ .

$32 - 4$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $32$ .

$28$