Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(a - h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $5 a^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.7

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим противоположные члены в $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.2.1

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.7.2.2

Вычтем $5 a^{2}$ из $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(a - h)}^{2}$ в виде $(a - h) (a - h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(a - h) (a - h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.4

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.4.1

Перенесем $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.4.2

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.6

Умножим $h^{2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $h a$ из $- a h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Перенесем $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $a h$ из $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ по $h$ равна $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.2

По правилу суммы производная $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.3

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $a^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.4

Поскольку $- 2 a$ является константой относительно $h$ , производная $- 2 a h$ по $h$ равна $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.8

Вычтем $2 a$ из $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 5 a^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $- 5 a^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.2.3

Добавим $- 10 a + 10 h$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

Этап 1.4

Разделим $- 10 a + 10 h$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Этап 2.2

Найдем предел $10 a$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Этап 2.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $10$ на $0$ .

$- 10 a + 0$

Этап 4.2

Добавим $- 10 a$ и $0$ .

$- 10 a$