Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ({(1 + h)}^{3} - 1)$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{h}$ на ${(1 + h)}^{3} - 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(1 + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная ${(1 + h)}^{3} - 1$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{3}$ и $g (h) = 1 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $1 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $h$ , производная $1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- 1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $3 {(1 + h)}^{2}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.2

Перепишем ${(1 + h)}^{2}$ в виде $(1 + h) (1 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((1 + h) (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.3

Развернем $(1 + h) (1 + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 (1 + h) + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4.1.2

Умножим $h$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4.1.3

Умножим $h$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4.1.4

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4.2

Добавим $h$ и $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 2 h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 1 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.6.1

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{1}$

Этап 2.4

Разделим $3 + 6 h + 3 h^{2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 + 6 h + 3 h^{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Этап 3.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Этап 3.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Этап 3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 4.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Этап 5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0$

Этап 5.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$3 + 0 + 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3 + 0$

Этап 5.3

Добавим $3$ и $0$ .

$3$