Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Преобразуем числа с отрицательными показателями в дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ на $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2^{3}}$ на $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Этап 1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 1.3

Вынесем член $\frac{1}{2^{3}}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $2^{3}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем степень $3$ в выражении ${(2 + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(2 + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.3

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $8 - {(2 + h)}^{3}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $8$ является константой относительно $h$ , производная $8$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- {(2 + h)}^{3}$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{3}$ и $g (h) = 2 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.3

По правилу суммы производная $2 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.4

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.5.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.6

Вычтем $3 {(2 + h)}^{2}$ из $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = {(2 + h)}^{3}$ и $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Этап 2.3.9

Умножим ${(2 + h)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Этап 2.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Этап 2.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Этап 2.3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Этап 2.3.11

По правилу суммы производная $2 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

Этап 2.3.12

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Этап 2.3.13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

Этап 2.3.15

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Этап 2.3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.1

Вынесем множитель ${(2 + h)}^{2}$ из ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.1.1

Вынесем множитель ${(2 + h)}^{2}$ из ${(2 + h)}^{3}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Этап 2.3.16.1.2

Вынесем множитель ${(2 + h)}^{2}$ из $h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

Этап 2.3.16.1.3

Вынесем множитель ${(2 + h)}^{2}$ из ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

Этап 2.3.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.2.1

Перенесем $3$ влево от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

Этап 2.3.16.2.2

Добавим $h$ и $3 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.3

Перепишем ${(2 + h)}^{2}$ в виде $(2 + h) (2 + h)$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.4

Развернем $(2 + h) (2 + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.5.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.5.1.3

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.5.2

Добавим $2 h$ и $2 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Этап 2.3.16.6

Развернем $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.7.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.5

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.7

Перенесем $2$ влево от $h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

Этап 2.3.16.7.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

Этап 2.3.16.7.9

Умножим $h^{2}$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.7.9.1

Перенесем $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

Этап 2.3.16.7.9.2

Умножим $h$ на $h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.7.9.2.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

Этап 2.3.16.7.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

Этап 2.3.16.7.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 2.3.16.8

Добавим $16 h$ и $8 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 2.3.16.9

Добавим $16 h^{2}$ и $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Этап 3.7

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Этап 3.8

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Этап 3.9

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Этап 3.10

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Этап 3.11

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

Этап 3.12

Вынесем степень $3$ в выражении $h^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Этап 4.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Этап 4.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Этап 4.4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $24$ на $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.5.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим $18$ на $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Этап 5.5.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 5.5.5

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

Этап 5.5.6

Добавим $8 + 0 + 0$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

Этап 5.5.7

Добавим $8 + 0$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

Этап 5.5.8

Добавим $8$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{8}$ в числитель.

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

Этап 5.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

Этап 5.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 5.7

Умножим $\frac{- 3}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

Этап 5.8

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{- 3}{16}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{16}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{16}$

Десятичная форма:

$- 0.1875$