Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \ln (h)$ и $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Умножим $\frac{2}{2 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $h$ , производная $\frac{2 + h}{2}$ по $h$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7.2

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $2 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.12

Умножим $\frac{1}{2 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{h + 2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

Этап 3.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Этап 5

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$