Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Этап 4

Перепишем $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ в виде $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.2.1

Разделим $1 + 0$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.3

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.6

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.10

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.13

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Вынесем множитель $x$ из $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.14.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.14.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.3.2

Вычтем $1 \cdot 1$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4.5

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 5.3.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 5.3.18

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 5.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{1}{x (x + 1)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{1}{x (x + 1)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Этап 5.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 7.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 8

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Этап 9.2

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{1}$

Этап 10

Упростим.

$e$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e$

Десятичная форма:

$2.71828182 \dots$