Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (1 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 1 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (1 + h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (1 + h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \ln (h)$ и $g (h) = 1 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $h$ , производная $1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 1}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 1} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{h + 1}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 4.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$