Математический анализ Примеры

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ .

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ , вынося $k$ из логарифма.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $k$ к $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $k$ к $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $k$ к $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $k$ к $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $k$ , подставив значение $8$ для $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Этап 4.2

Найдем предел $k$ , подставив значение $8$ для $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Этап 4.3

Найдем предел $k$ , подставив значение $8$ для $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Этап 5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Этап 5.5

Возведем $7$ в степень $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Этап 5.6

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5764801}{16777216}$

Десятичная форма:

$0.34360891 \dots$