Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{n}{n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $n^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Этап 4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Этап 6

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Этап 7

Найдем предел $8 i$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Этап 8.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Этап 8.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Этап 8.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $8$ и $8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{8 (1)}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Этап 9.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8^{3}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Этап 9.1.2.2

Вынесем множитель $8$ из $6 \cdot 8^{2}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Этап 9.1.2.3

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Этап 9.1.2.4

Вынесем множитель $8$ из $- 12 \cdot 8$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12 - 8 i}$

Этап 9.1.2.5

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) - 8 i}$

Этап 9.1.2.6

Вынесем множитель $8$ из $- 8 i$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)}$

Этап 9.1.2.7

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Этап 9.1.2.8

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Этап 9.1.2.9

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i}$

Этап 9.2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{100 - i}$ на комплексно сопряженное $100 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{100 - i} \cdot \frac{100 + i}{100 + i}$

Этап 9.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим.

$\frac{1 (100 + i)}{(100 - i) (100 + i)}$

Этап 9.3.2

Умножим $100 + i$ на $1$ .

$\frac{100 + i}{(100 - i) (100 + i)}$

Этап 9.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Развернем $(100 - i) (100 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{100 + i}{100 (100 + i) - i (100 + i)}$

Этап 9.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i (100 + i)}$

Этап 9.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Этап 9.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Умножим $100$ на $100$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Этап 9.3.3.2.2

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i i}$

Этап 9.3.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i)}$

Этап 9.3.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 9.3.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{2}}$

Этап 9.3.3.2.7

Вычтем $100 i$ из $100 i$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 0 - i^{2}}$

Этап 9.3.3.2.8

Добавим $10000$ и $0$ .

$\frac{100 + i}{10000 - i^{2}}$

Этап 9.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 - - 1}$

Этап 9.3.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 1}$

Этап 9.3.3.4

Добавим $10000$ и $1$ .

$\frac{100 + i}{10001}$

Этап 9.4

Разобьем дробь $\frac{100 + i}{10001}$ на две дроби.

$\frac{100}{10001} + \frac{i}{10001}$