Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x)}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\frac{π}{4}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{4}{π}$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{π}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (2)}{π}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{π}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} \frac{2}{π}$

Этап 4.4

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{π}$

Этап 4.5

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Десятичная форма:

$0.90031631 \dots$