Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{4 x}{\tan (x)}$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{x}{\tan (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{\tan (\frac{π}{4})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим дроби.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{π}{4})})$

Этап 5.2

Выразим $\tan (\frac{π}{4})$ через синусы и косинусы.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4})}})$

Этап 5.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4})}$ .

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4})})$

Этап 5.4

Переведем $\frac{\cos (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4})}$ в $\cot (\frac{π}{4})$ .

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 5.5

Разделим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$4 (\frac{π}{4} \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 5.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$4 (\frac{π}{4} \cdot 1)$

Этап 5.7

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$4 \frac{π}{4}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{π}{4}$

Этап 5.8.2

Перепишем это выражение.

$π$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$π$

Десятичная форма:

$3.14159265 \dots$