Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Этап 3

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

Этап 6

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9.1.2

Умножим $π$ на $1$ .

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 9.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

Этап 9.1.7

Умножим $π$ на $0$ .

$- 1 + \sin (0)$

Этап 9.1.8

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 9.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$