Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 2.1.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Этап 3.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Этап 3.1.3.1.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{0}{π - π}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x \cdot 2 - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 3.3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 3.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 3.3.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Этап 3.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Этап 4.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$1 \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$