Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $4 a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $a^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{a}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} - 2 a \cdot a + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.6

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.7

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a^{1}) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} - 2 a^{1 + 1} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.1.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.2

Объединим противоположные члены в $a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.2.1

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2} + 0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.2.2

Добавим $a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}$ и $0$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.3

Вычтем $2 a^{2}$ из $a^{2}$ .

$\frac{- a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.2.9.4

Добавим $- a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $a^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Этап 1.1.3.6

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{a}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1.1

Применим правило умножения к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{a^{2} + a - a^{2} - a}$

Этап 1.1.3.8.2

Объединим противоположные члены в $a^{2} + a - a^{2} - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.2.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$\frac{0}{a + 0 - a}$

Этап 1.1.3.8.2.2

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{0}{a - a}$

Этап 1.1.3.8.2.3

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8.2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a} = lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 4 a$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 a x$ по $x$ равна $- 4 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- a$ является константой относительно $x$ , производная $- a$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1

Добавим $8 x - 4 a + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.8.1.2

Добавим $8 x - 4 a + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.8.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Этап 1.3.9

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.11

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.11.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $- a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- a$ является константой относительно $x$ , производная $- a$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + 0}$

Этап 1.3.14

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.1

Добавим $8 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0}$

Этап 1.3.14.2

Добавим $8 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $- 4 a + 8 x + 2$ и $8 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 a$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 2 (4 x) + 2}{8 x + 2}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 a) + 2 (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2}{8 x + 2}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2 \cdot 1}{8 x + 2}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 a + 4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{8 x + 2}$

Этап 1.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2}$

Этап 1.4.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2 (1)}$

Этап 1.4.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Этап 1.4.6.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 2 a + 4 x + 1}{4 x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} - 2 a + 4 x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Этап 2.3

Найдем предел $2 a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Этап 2.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Этап 2.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{a}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{a}{2}$ для $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 2 a + 2 (2) \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 a + 2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 a + 2 a + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 2 a$ и $2 a$ .

$\frac{0 + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2) \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 a + 1}$