Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

Этап 1

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Этап 2.1.3.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Этап 2.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Этап 3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\csc^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$8 \frac{1}{1^{2}}$

Этап 5.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$8 (\frac{1}{1})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{1}{1})$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$8 \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $8$ на $1$ .

$8$