Математический анализ Примеры

lim x \to \frac{x}{4} \frac{sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{lim x \to \frac{x}{4} sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{lim x \to \frac{x}{4} sin (x + \frac{π}{4}) - lim x \to \frac{x}{4} 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + \frac{π}{4}) - lim x \to \frac{x}{4} 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + lim x \to \frac{x}{4} \frac{π}{4}) - lim x \to \frac{x}{4} 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 5

Найдем предел

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + \frac{π}{4}) - lim x \to \frac{x}{4} 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 6

Найдем предел

1

$1$ , который является константой по мере приближения

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - lim x \to \frac{x}{4} \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

Этап 8

Найдем предел

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения

x

$x$ к

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

\frac{sin (lim x \to \frac{x}{4} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ для всех вхождений

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел

x

$x$ , подставив значение

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ для

x

$x$ .

\frac{sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim x \to \frac{x}{4} x - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 9.2

Найдем предел

x

$x$ , подставив значение

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ для

x

$x$ .

\frac{sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

\frac{sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим

\frac{sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{4}{4} \cdot \frac{sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Этап 10.1.2

Объединим.

\frac{4 (sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

\frac{4 (sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{4 sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{π}{4}$ в числитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4.1.2

Вынесем множитель

$4$ из

$4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$