Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 5

Найдем предел $\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

Этап 8

Найдем предел $\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{x}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{x}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{x}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Этап 10.1.2

Объединим.

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

Этап 10.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$