Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1.1

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.2.6.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{9 - t} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 - t}$ в виде ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = 9 - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $9 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.13

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $- 1$ влево от ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.17

Перепишем $- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.18

Перенесем ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.5

Добавим $- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{9 - t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

Этап 2.7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

Этап 2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Этап 2.8.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Добавим $9$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 2.8.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 2.8.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{6}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$- 0.1\overline{6}$