Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{6}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 - π}{6}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{-}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{6}$ слева.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.42359877 & 0.88956192 \\ 0.51359877 & 0.86851094 \\ 0.52259877 & 0.86627525 \\ 0.52349877 & 0.8660504 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $\frac{π}{6}$ , значения функции стремятся к $0.866$ . Таким образом, предел $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{6}$ слева, равен $0.866$ .

$0.866$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{+}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{6}$ справа.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.62359877 & 0.83960357 \\ 0.53359877 & 0.86351099 \\ 0.52459877 & 0.86577525 \\ 0.52369877 & 0.8660004 \end{array}$

Этап 8

$0.866$