Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $17$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{6 {(\frac{- 2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (\frac{- 2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{6 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{27}$ в числитель.

$\frac{6 (\frac{- 8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{- 8}{27} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\frac{- 8}{9}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.6

Объединим $2$ и $\frac{- 8}{9}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 8}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.7

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{\frac{- 16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.11

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{4}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (\frac{4}{9}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.14

Умножим $- 17 (\frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.14.1

Объединим $- 17$ и $\frac{4}{9}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 17 \cdot 4}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.14.2

Умножим $- 17$ на $4$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.16

Умножим $- 5 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.16.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + 5 (\frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.16.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{5 \cdot 2}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.1.16.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{10}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 + \frac{- 16 - 68}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.3

Вычтем $68$ из $- 16$ .

$\frac{6 + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.4.1

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{6}{1} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4.2

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4.3

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4.4

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4.5

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.4.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{6 \cdot 9 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.6.1

Умножим $6$ на $9$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.6.2

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.7

Вычтем $84$ из $54$ .

$\frac{\frac{- 30 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.8

Добавим $- 30$ и $30$ .

$\frac{\frac{0}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.2.9.9

Разделим $0$ на $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $36$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Этап 1.1.3.7

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{9 {(\frac{- 2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{27}$ в числитель.

$\frac{0}{9 (\frac{- 8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.5.2

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 (3)} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 \cdot 3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{\frac{- 8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.9

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.12

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.12.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 (4) \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 \cdot 4 \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 4 \cdot 4 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.13

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.14

Умножим $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.14.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + 4 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.14.2

Объединим $4$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{4 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.14.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.9.1.15

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 16}$

Этап 1.1.3.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{- 8 + 8}{3}}$

Этап 1.1.3.9.3

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.4.1

Запишем $16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} - 16 + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4.2

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} \cdot \frac{3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4.3

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4.4

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4.5

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.4.6

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3 - 16 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.3.9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.6.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 16 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.3.9.6.2

Умножим $- 16$ на $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 48}{3}}$

Этап 1.1.3.9.7

Вычтем $48$ из $48$ .

$\frac{0}{\frac{0}{3}}$

Этап 1.1.3.9.8

Разделим $0$ на $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.9.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16} = lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 17 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 17$ является константой относительно $x$ , производная $- 17 x^{2}$ по $x$ равна $- 17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 17$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.7

Добавим $18 x^{2} - 34 x - 5$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{3}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $3$ на $9$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $2$ на $36$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.11

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.11.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + 0}$

Этап 1.3.13

Добавим $27 x^{2} + 72 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - 34 x - 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.3

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.5

Вынесем член $34$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Этап 2.8

Вынесем член $27$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Этап 2.9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Этап 2.10

Вынесем член $72$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Этап 2.11

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{18 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(\frac{- 2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{- 2}{3}$ для $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{18 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{18 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{18 \frac{4}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{18 (\frac{4}{9}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{9 (2) \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot 2 \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 4 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.8

Умножим $- 34 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 34$ .

$\frac{8 + 34 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.8.2

Объединим $34$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 + \frac{34 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.8.3

Умножим $34$ на $2$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.9

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.10

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.11

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{8 \cdot 3 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{\frac{24 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.13.2

Добавим $24$ и $68$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.14

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.15

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{92 - 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{\frac{92 - 15}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.17.2

Вычтем $15$ из $92$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{4}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (\frac{4}{9}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{9 (3) \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{77}{3}}{9 \cdot 3 \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{77}{3}}{3 \cdot 4 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.7

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.8.2

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 (24) \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 \cdot 24 \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 24 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.9

Умножим $24$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.2.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 4}$

Этап 4.2.11

Вычтем $48$ из $12$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 36 - 4}$

Этап 4.2.12

Вычтем $4$ из $- 36$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 40}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{77}{3} \cdot \frac{1}{- 40}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$

Этап 4.5

Умножим $\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{77}{3}$ на $\frac{1}{40}$ .

$- \frac{77}{3 \cdot 40}$

Этап 4.5.2

Умножим $3$ на $40$ .

$- \frac{77}{120}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{77}{120}$

Десятичная форма:

$- 0.641\overline{6}$