Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 5 x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 5}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{- 2 + \frac{6}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.4

Разделим $6$ на $3$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.2.7.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{6 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{0}{3 (2) \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1}$

Этап 1.1.3.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{- 1 + \frac{2 + 1}{3}}$

Этап 1.1.3.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{0}{- 1 + \frac{3}{3}}$

Этап 1.1.3.6.4

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.3.6.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 5 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $6 x + 5$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $6 x^{2} + x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $12 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Этап 2.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Этап 2.6

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Этап 4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Этап 4.1.2

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{7}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{7}{3 (4) \frac{1}{3} + 1}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{3 \cdot 4 \frac{1}{3} + 1}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{4 + 1}$

Этап 4.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{7}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{5}$

Десятичная форма:

$1.4$