Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{(\frac{x}{(x + 1)}) - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{x}{(x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- (\frac{4}{5})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) \cdot 5$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{x}{(x + 1)}$ на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 1) \cdot 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{5 (x + 1)} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1) (x - 4)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.7.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 \cdot 5}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.7.1.3

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 20}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.2.7.2

Вычтем $20$ из $20$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} x + 1 \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Этап 3.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.7.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 4)}$

Этап 3.1.3.7.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.7.4

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x \cdot 5 - 4 (x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 5]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 (x + 1)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.12

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + 0)}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \cdot 1}$

Этап 3.3.16

Умножим $x - 4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + x - 4}$

Этап 3.3.17

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 1 - 4}$

Этап 3.3.18

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x - 3}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Этап 4.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Этап 4.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 1 \cdot 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 3}$

Этап 6.1.3

Вычтем $3$ из $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5}$

Этап 6.2.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{25}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{25}$

Десятичная форма:

$0.04$