Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - x + 1}{x + 3}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (3 x^{2})}{x} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (3 x^{2})}{x^{1}} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{1} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.1.2.5

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 + 0}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{3}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 1 + 0}{1 + 0}$

Этап 5

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{3 x^{2} - 1 + 0}{1 + 0}$ стремится к бесконечности.

$\infty$