Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 8} \frac{\sqrt{4 t^{2} + 4}}{2 t + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{4 t^{2} + 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} 4 t^{2} + 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} 4 t^{2} + lim_{t \to 8} 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{\sqrt{4 lim_{t \to 8} t^{2} + lim_{t \to 8} 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{t \to 8} t)}^{2} + lim_{t \to 8} 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $t$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{t \to 8} t)}^{2} + 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{t \to 8} t)}^{2} + 4}}{lim_{t \to 8} 2 t + lim_{t \to 8} 1}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{t \to 8} t)}^{2} + 4}}{2 lim_{t \to 8} t + lim_{t \to 8} 1}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{t \to 8} t)}^{2} + 4}}{2 lim_{t \to 8} t + 1}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 4}}{2 lim_{t \to 8} t + 1}$

Этап 10.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 4}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 64 + 4}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.1.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.1.3

Добавим $256$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{260}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.1.4

Перепишем $260$ в виде $2^{2} \cdot 65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $260$ .

$\frac{\sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{65}}{2 \cdot 8 + 1}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{2 \sqrt{65}}{16 + 1}$

Этап 11.2.2

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{65}}{17}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{65}}{17}$

Десятичная форма:

$0.94850091 \dots$