Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $t^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $19$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $68$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $t$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.7.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Умножим $19$ на $9$ .

$\frac{27 + 171 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Умножим $- 68$ на $3$ .

$\frac{27 + 171 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.2

Добавим $27$ и $171$ .

$\frac{198 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.3

Вычтем $204$ из $198$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.2.8.4

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $t^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{0}{27 - 9 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $- 9$ на $3$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $27$ из $27$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [19 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $19$ является константой относительно $t$ , производная $19 t^{2}$ по $t$ равна $19 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $19$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 68 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 68$ является константой относительно $t$ , производная $- 68 t$ по $t$ равна $- 68 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 68$ на $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.7

Добавим $3 t^{2} + 38 t - 68$ и $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $t^{3} - 9 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $t$ , производная $- 9 t$ по $t$ равна $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \cdot 1}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + 38 t - 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to 3} t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.5

Вынесем член $38$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.6

Найдем предел $68$ , который является константой по мере приближения $t$ к $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Этап 2.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Этап 2.9

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Этап 2.10

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $t$ к $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 3.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $3$ для $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{1 + 2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3^{3} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27 + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.3

Умножим $38$ на $3$ .

$\frac{27 + 114 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $68$ .

$\frac{27 + 114 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.5

Добавим $27$ и $114$ .

$\frac{141 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.1.6

Вычтем $68$ из $141$ .

$\frac{73}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{73}{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{73}{3^{1 + 2} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{73}{3^{3} - 1 \cdot 9}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{73}{27 - 1 \cdot 9}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{73}{27 - 9}$

Этап 4.2.4

Вычтем $9$ из $27$ .

$\frac{73}{18}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{73}{18}$

Десятичная форма:

$4.0\overline{5}$