Математический анализ Примеры

$lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + 3 t + 2}{t^{2} - t - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to - 1} t^{2} + 3 t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} t^{2} + lim_{t \to - 1} 3 t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + lim_{t \to - 1} 3 t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 3 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 1} t^{2} - lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 2}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 2}$

Этап 1.1.3.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 1 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 2}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.5.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + 3 t + 2}{t^{2} - t - 2} = lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 3 t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 t + 3$ и $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $t^{2} - t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 + \frac{d}{d t} [- 2]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $2 t - 1$ и $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} 2 t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} 2 t + lim_{t \to - 1} 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + lim_{t \to - 1} 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - lim_{t \to - 1} 1}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 1}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 1$ для $t$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{- 2 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 2 - 1}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{1}{- 3}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{3}$