Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 7 x + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 7 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 7 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{1 - 7 + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 7 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x - 7$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 7}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 x - 7$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x - 7$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 7$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 7$

Этап 2.3

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 7$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 7$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 1 \cdot 7$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$2 - 7$

Этап 4.2

Вычтем $7$ из $2$ .

$- 5$