Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $0$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{t + 9} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t + 9}$ в виде ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = t + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $t + 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 t}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Этап 1.5

Перепишем ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{t + 9}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{t + 9}}$ на $\frac{1}{2 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9} (2 t)}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{4 \sqrt{t + 9} t}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$