Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3.5

Умножим $e^{t}$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $1 - e^{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - \frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Этап 1.3.8.2

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - e^{t}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $e^{t}$ из $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{- e^{t}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Этап 2.6

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3.4

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 4.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 4.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

Этап 4.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- e^{0}}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 4.4

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$