Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $7$ в выражении $t^{7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{0^{7}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $e^{t} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $e^{t}$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $7 t^{6}$ стремится к нулю и больше нуля для $t$ около $0$ и справа, и слева, функция неограниченно растет.

$\infty$