Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2}}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Этап 8.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{8 + 2}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8 + 2}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{8 + 2}}$

Этап 9.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{\sqrt{8 + 2}}$

Этап 9.2

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 9.4.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 9.4.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 9.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 9.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 9.4.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 9.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Десятичная форма:

$0.94868329 \dots$