Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$2 lim_{n \to 8} \frac{n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$2 \frac{lim_{n \to 8} n^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $n^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Этап 7.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Этап 7.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$2 \frac{512}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$2 \frac{512}{64 + 4 \cdot 8}$

Этап 8.2.2

Умножим $4$ на $8$ .

$2 \frac{512}{64 + 32}$

Этап 8.2.3

Добавим $64$ и $32$ .

$2 (\frac{512}{96})$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $96$ .

$2 \frac{512}{2 (48)}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{512}{2 \cdot 48}$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{512}{48}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $512$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $16$ из $512$ .

$\frac{16 (32)}{48}$

Этап 8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Этап 8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Этап 8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$10.\overline{6}$